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Chapter Analysis
Intermediate12 pages • HindiQuick Summary
इस अध्याय ‘बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ’ में बीजीय व्यंजकों के जोड़, घटाव और गुणन की प्रक्रियाओं को विस्तार से समझाया गया है। इसमें पदों के प्रकार, समान पदों को जोड़ना तथा घटाना, एकपद और बहुपद के गुणन के नियम, तथा वर्ग और घन से संबंधित सर्वसमिकाएँ दी गई हैं। छात्रों को यह सिखाया गया है कि कैसे बीजीय व्यंजकों को व्यवस्थित कर गणितीय समस्याओं को सरलता से हल किया जा सकता है।
Key Topics
- •बीजीय व्यंजक का जोड़ और घटाव
- •समान पद और असमान पद
- •एकपद, द्विपद और बहुपद का गुणन
- •वितरण का नियम
- •सर्वसमिकाएँ और उनका उपयोग
- •बहुपदों के गुणनफल का सरलीकरण
- •घटाव और जोड़ में संकेतों का प्रयोग
- •बीजीय व्यंजकों का व्यावहारिक प्रयोग
Learning Objectives
- ✓बीजीय व्यंजकों को पहचानना और वर्गीकृत करना सीखना
- ✓समान पदों को जोड़ना और घटाना आना
- ✓एकपद, द्विपद और बहुपद के गुणन के नियमों को समझना
- ✓वितरण नियम का उपयोग करते हुए गुणन करना सीखना
- ✓सर्वसमिकाओं को पहचानना और प्रयोग करना
- ✓गणितीय समस्याओं को बीजीय व्यंजकों द्वारा हल करने की क्षमता विकसित करना
Questions in Chapter
fuEufyf[kr dk योग ज्ञात कीजिए: (i) ab – bc, bc – ca, ca – ab (ii) a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac (iii) 2p²q² – 3pq + 4, 5 + 7pq – 3p²q² (iv) l² + m², m² + n², n² + l², 2lm + 2mn + 2nl
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(a) 12a – 9ab + 5b – 3 में से 4a – 7ab + 3b + 12 को घटाइए। (b) 5xy – 2yz – 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz – 7zx को घटाइए। (c) 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq² + 5p²q में से 4p²q – 3pq + 5pq² – 8p + 7q – 10 को घटाइए।
Page 100
fuEufyf[kr एकपदों का गुणन कीजिए: (i) 4, 7p (ii) –4p, 7p (iii) –4p, 7pq (iv) 4p³, –3p (v) 4p, 0
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fuEufyf[kr पदों के गुणनफल ज्ञात कीजिए: (p, q); (10m, 5n); (20x², 5y²); (4x, 3x²); (3mn, 4np)
Page 103
fuEufyf[kr दो बहुपदों का गुणन कीजिए: (i) 4p, q + r (ii) ab, a – b (iii) a + b, 7a²b² (iv) a² – 9, 4a (v) pq + qr + rp, 0
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(a) 3x(4x – 5) + 3 को सरल कीजिए और x = 3 तथा x = ½ के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए। (b) a(a² + a + 1) + 5 को सरल कीजिए और a = 0, 1, –1 के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।
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(i) (2x + 5) और (4x – 3) का गुणन कीजिए। (ii) (y – 8) और (3y – 4) का गुणन कीजिए। (iii) (2.5l – 0.5m) और (2.5l + 0.5m) का गुणन कीजिए। (iv) (a + 3b) और (x + 5) का गुणन कीजिए। (v) (2pq + 3q²) और (3pq – 2q²) का गुणन कीजिए।
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(x² – 5)(x + 5) + 25 को सरल कीजिए।
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(a + b)(c – d) + (a – b)(c + d) + 2(ac + bd) को सरल कीजिए।
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Additional Practice Questions
बीजीय व्यंजक क्या होते हैं? उदाहरण सहित समझाइए।
easyAnswer: बीजीय व्यंजक वे गणितीय अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें संख्याएँ और चर (जैसे x, y, z) मिलकर योग, घटाव, गुणा या भाग के द्वारा जुड़े होते हैं। उदाहरण: 3x + 2y – 5।
एकपद, द्विपद और बहुपद में क्या अंतर है?
easyAnswer: एकपद वह व्यंजक होता है जिसमें केवल एक पद होता है जैसे 3x²; द्विपद में दो पद होते हैं जैसे x + 5; और बहुपद में दो से अधिक पद होते हैं जैसे 2x² + 3x + 4।
दो बहुपदों के जोड़ के लिए कौन-सा नियम अपनाया जाता है?
mediumAnswer: दो बहुपदों के जोड़ में समान पदों को जोड़कर नया बहुपद बनाया जाता है। उदाहरण: (3x² + 2x + 1) + (x² + 3x + 4) = 4x² + 5x + 5।
दो बहुपदों के गुणन के नियम को समझाइए।
mediumAnswer: दो बहुपदों का गुणन करते समय पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है और समान पदों को जोड़कर सरल किया जाता है।
समान पदों को पहचानने की विधि बताइए।
easyAnswer: वे पद जिनके चर और घात समान होते हैं, समान पद कहलाते हैं। जैसे 3x²y और –5x²y समान पद हैं।
यदि p = 2 और q = 3 हो तो 2p²q + 3pq² का मान ज्ञात कीजिए।
mediumAnswer: p = 2, q = 3 रखने पर 2(2)²(3) + 3(2)(3)² = 2×4×3 + 3×2×9 = 24 + 54 = 78।
(a + b)² – (a – b)² का मान ज्ञात कीजिए और सर्वसमिका सिद्ध कीजिए।
mediumAnswer: (a + b)² – (a – b)² = 4ab जो प्रसिद्ध सर्वसमिका है।
(x + 3)(x – 3) को विस्तार कीजिए।
easyAnswer: (x + 3)(x – 3) = x² – 9 जो वर्गों के अंतर की सर्वसमिका है।
यदि a = 2, b = –1, c = 3 हो तो 2a²b + 3ab² – c का मान ज्ञात कीजिए।
hardAnswer: 2(2)²(–1) + 3(2)(–1)² – 3 = 8(–1) + 3(2)(1) – 3 = –8 + 6 – 3 = –5।
एक बहुपद का वास्तविक जीवन में उपयोग बताइए।
easyAnswer: बहुपदों का उपयोग क्षेत्रफल, लागत, गति आदि से जुड़ी समस्याओं को हल करने में किया जाता है जैसे आयत का क्षेत्रफल (l + 3)(b + 2) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।